C++ - Floating-Point Precision,float,double (C++軟體開發 - 浮點數精度 概念與實例)

◎基本概念 

關於浮點數的規範必須先了解IEEE 754，float與double皆遵守IEEE 754，常見的有單精度float(32bits)和雙精度double (64bits)。

 ◎簡述IEEE754概念 

1.將要表示的數正規化  

10進位正規化範例  :

2進位正規化範例 : 

小數點前必只有一個一個1

2.將正規化後的數放入下面格式內

單精度float(32bits)，雙精度double(64bits)，bits數分配 :
 

各格式表示 :

(-1)^sign  x  (1+ .fraction)  x  2 ^{exponent - exponent bias}

 

Sign : 正負

正為0，負為1

Exponent : 指數部分，正規化後的次方數

為達到快速比較指數大小(不用考慮正負)的目的，exponent採用數偏移值表示法(biased notation) 。

exponent bias= 2^e-1 - 1(e =  exponent Bit數)

以單精準度(single precision)來說，32bit ，exponent Bit數 = 8 ，所以exponent bias =  127。

以雙精準度(doubleprecision)來說，64bit ，exponent Bit數 = 11 ，所以exponent bias =  1023。

32bits ，exponent 數值所表示的指數如下表 :

0000 0000最小，1111 1111最大。

10進位	exponent值	實際 表示指數
0	0000 0000	-127	X 例外
1	0000 0001	-126
2	0000 0010	-125
.		.
127	0111 1111	0	bias
128	1000 0000	+1
.		.
254	1111 1110	+127
255	1111 1111	+128	X 例外

例 :

 -0.75

 =

(-1)^sign  x  (1+ .fraction)  x  2 ^{exponent - exponent bias}

=

(-1)¹ x (1+ .1 ) x 2^126-127

 ^{內容是 :}

Fraction : 有效數(小數位)

如上例，放置小數點後的數值。

3.例外

 

表示	exponent	fraction
0	0	0
非正規數	0	非0
正規數	1 ~ 2e - 2	任意
無限大	2e - 1	0
NaN(not a number)	2e - 1	非0

當exponent = 0 ，fraction為非0時IEEE允許有些數值以非正規形式的浮點數表示，比正規化更接近於0 。

32bit非正規形式
=  
(-1)^sign  x  (0.fraction)  x  2 ^-126

Single precision		double precision		表示
exponent	fraction	exponent	fraction
0	0	0	0	±0
0	任意非0	0	任意非0	非正規化數
1 ~ 254	任意	0~2046	任意	正規化數
255	0	2047	0	無限大
255	任意非0	2047	任意非0	NaN

正規化最小

Sign  exponent                                  fraction

0

0000 0001

000 0000 0000 0000 0000 0000

= 1.0 x 2^-126

≈ 1.18 x 10^-38

正規化最大

Sign  exponent                                  fraction

0

1111 1110

111 1111 1111 1111 1111 1111

= 1.1111 1111 1111 1111 1111 111 x 2¹²⁷

≈3.4 x 10³⁸

非正規化最小

Sign  exponent                                  fraction

0

0000 0000

000 0000 0000 0000 0000 0001

= 0.0000 0000 0000 0000 0000 001 x 2^-126

= 1.0 x 2^-149

≈1.4 x 10^-45

非正規化最大

Sign  exponent                                  fraction

0

0000 0000

1111 1111 1111 1111 1111 111

= 0.11111111111111111111111 x 2^-126

≈1.18 x 10^-38

 
◎精準度


精準度是看fraction存幾個bits。

float : 23 mantissa bits + 1 hidden bit :
轉為十進位

log2²⁴ = 7.2247198 digits

 

double : 52 mantissa bits + 1 hidden bit :
轉為十進位

log2⁵³ = 15.954589 digits

 
◎結論

類型	bit數	有效數
float	32	6~7
double	64	15~16

 
不論是單精度還是雙精度，它可以表示的小數還是有限的。每個 Compiler 提供之浮點數規格可能不盡相同，如果寫浮點數運算是要非常小心的。 

了解一下下面程式碼的結果

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <limits>  
#include <iomanip>

using namespace std;

int main() {

    // a = b
    //float a = 1.12345678f;
    //float b = 1.12345679f;

    //a < b
    //float a = 1.1234567f;
    //float b = 1.1234568f;

    //a = b
    //double a = 1.1234567890123456;
    //double b = 1.1234567890123457;

    //a < b
    //double a = 1.123456789012344;
    //double b = 1.123456789012345;

    //a < b
    //double a = 1.12345678;
    //double b = 1.12345679;

    if (a > b) {
        cout << "a > b" << endl;
    }

    else if (a == b) {
        cout << "a == b" << endl;
    }
    else {
        cout << "a < b" << endl;
    }

    return 0;
}